Felix Hausdorff, matemático alemán introdujo en el año 1919, el concepto de dimensión, y basándose en sus ideas es posible establecer una comparación entre objetos fractales.
El concepto intuitivo de la dimensión de un objeto es bien conocido. Así, un pedazo de hilo y un trozo de alambre pueden ser la representación de objetos unidimensionales, o sea de dimensión 1; una hoja de papel y una lamina de metal son bidimensionales, o sea de dimensión 2; una esfera solida y un cubo solido son tridimensionales, o sea de dimensión 3. Todas dimensiones representadas con un numero entero, y esa es la diferencia, los fractales son objetos cuya dimensión es un numero decimal.
Si consideramos un objeto de longitud L y lo dividimos en tres partes iguales de tamaño l, se generan N = 3 particiones o segmentos más pequeños (N = L/l). Al considerar una hoja de papel cuadrada de lado L , y la seccionamos en cuadrados más pequeños de lados l = L/2, se obtienen cuadrados de área l2 = L2/4, entonces obtenemos N = (L/l)2 = 4 particiones. Para un cubo de lado L al seccionarlo en cubos más pequeños de lados l = L/2, se generan N = (L/l)3 = 8 pequeños cubos de volumen l3.
Generalizando el proceso de división como el descrito, el numero de secciones generadas esta dado por N = (L/l)df, de donde df se denominara dimensión fractal o de Hausdorff del objeto (esta relación debe cumplirse si decidimos seccionar el objeto total o cualquiera de sus partes) y al despejar df obtenemos df = log N/log(L/l), expresión que nos permite calcular la dimensión de cualquier forma geométrica. Al aplicar esta fórmula en los casos descritos anteriormente obtenemos la dimensión para la recta (1), figura plana (2) y un sólido (3). Note que no importa el numero de subdivisiones que se realice, df es el mismo para cada objeto en particular.
Apliquemos esto a la curva de Koch o copo de nieve. En ella cada lado del triangulo es dividido en tres partes iguales l = L/3 y en cada arista del triangulo se obtienen cuatro particiones (N = 4) obteniendo df = log4/log3 = 1,261859… ¡¡dimensión fraccional!! Luego el copo de nieve cubre más espacio que una recta y menos que el plano.
El triangulo de Sierpinski, es una estructura fractal que se obtiene de seccionar un triangulo equilátero en cuatro particiones similares con lados l = L/2 y a continuación se extrae el triangulo central quedando solo tres triángulos (N = 3) y sobre cada uno de estos triángulos se actúa de la misma forma de manera continua.
La dimensión de Hausdorff en este caso es
df = log3/log2 = 1,584962….
De igual manera puede construirse la Carpeta de Sierpinski. Esta se obtiene al dividir un cuadrado de lado L en secciones de área L2/9 y eliminando el cuadrado del centro. Aquí N = 8 y L/l = 3 de donde df = log8/log3 = 1,892789…
Comparando los resultados obtenidos, se ve que la dimensión fractal mide, de alguna forma, hasta que punto el objeto cubre el espacio en que se encuentra inscrito: mientras la curva de Koch cubre bastante poco (dimensión 1,261859), la Carpeta de Sierpinski lo hace casi completamente (dimensión 1,892789)
Así la dimensión fractal de estos objetos permite compararlos y clasificarlos.
El cubo de Sierpinski
En forma análoga a la Carpeta de Sierpinski, se puede construir otro fractal llamado cubo de Sierpinski, el que se construye a partir de un cubo de arista L, que se particiona en secciones cubicas de volumen L3/27; eliminando la sección del centro del cubo y las seis que están en el centro de cada cara. El procedimiento se repite en cada uno de los 20 cubos restantes y asi sucesivamente. Una etapa del proceso se muestra en la figura siguiente:
La dimensión fractal del cubo de Sierpinsky es log20/log3 = 2,726833… La figura resulta similar a una esponja, de allí que también se le conozca como la esponja de Sierpinski.
Este fractal tiene la propiedad que su volumen tiende a cero, mientras que el área de su superficie tiene a infinito. Esta idea se ha usado para la confección de materiales absorbentes tales como pañales y toallas femeninas.
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