miércoles, 10 de agosto de 2011

MAGIA CON MATRICES

Aquí analizo las matemáticas contenidas en dos muy sencillos trucos de cartas que se basan en el concepto de matriz y matriz compuesta.
Actualmente la “muy moderna” educación chilena ha sacado las matrices del currículum de la enseñanza secundaria para enfatizar en la menos abstracta operatoria algebraica. Se llama matriz a un arreglo ordenado de números en filas (horizontales) y columnas (verticales). Ejemplo:
Se debe distinguir entre matrices cuadradas (de igual numero de filas y columnas), y matrices rectangulares.
El juego de las 21 cartas se puede fundamentar como el ordenamiento de cartas en una matriz rectangular de 7x3 (7 filas y 3 columnas).
El otro concepto a utilizar en los trucos que se presentan a continuación es el de matriz traspuesta; que es aquella matriz que se obtiene de intercambiar filas por columnas en la matriz original. Ejemplo:

Ahora estamos en condición de comprender el contenido matemático oculto en los dos siguientes trucos de adivinación:
LAS NUEVE CARTAS
Elegir nueve cartas de una baraja y distribuirlas en una matriz cuadrada de 3x3 (3 filas, 3 columnas). El espectador elige en secreto una de las cartas, la escribe en una hoja de papel, y nos dice en la columna que esta ubicada. Recogemos las columnas formando tres montones recordando en que lugar de la pila de nueve cartas ubicamos el montón con la carta elegida por el espectador. Distribuimos otra vez las cartas en filas de tres columnas, y le decimos al espectador que nos diga en que columna esta ubicada su carta; como ya hemos reconocido la carta a adivinar, recogemos en cualquier orden las cartas de la mesa, y adivinamos la carta elegida por el espectador.
El secreto está en que al formar la matriz los naipes los distribuimos en filas y los recogemos en columnas para formar una matriz traspuesta.
LAS 25 CARTAS
Este es un truco con naipes muy semejante al anterior. Los amigos, alumnos, espectadores siempre quieren descubrir el secreto de un truco magia y disfrutan si lo logran, y más aun si el truco falla, así que la mejor manera de despistarlos es fingir que atolondradamente se ha olvidado o que hoy todo nos está saliendo mal. Pero quedan con la “quijada caída”, mejor digo asombrados cuando pese a todo el desorden y la torpeza el mago logra adivinar la carta por ellos elegida.
El truco consiste en distribuir sobre una mesa 25 cartas en cinco filas de cinco cartas cada uno,- como inteligentemente habrán observado en una matriz de 5x5 -; y el espectador debe elegir en secreto una de ellas y anotarla en un trozo de papel. El espectador informa al mago sobre el montón donde se encuentra ubicada la carta elegida. El mago entrega a los espectadores para barajar cada montón de cartas donde no está la carta elegida y  luego los recoge en cualquier orden recordando el lugar donde ubica el montón que contiene la carta elegida
Otra vez, el mago distribuye las cartas en filas de cinco cartas hasta formar una matriz de cinco filas y cinco columnas, y otra vez el espectador dice en qué montón se encuentra la carta elegida. Cuando el mago está recogiendo los montones (las columnas) según las indicaciones del o de los espectadores, las cartas se le caen sobre la mesa de forma desordenada. El mago anuncia que así es imposible que el truco salga bien pero que, de todas formas, para que no se sientan desencantados, elegirá una carta al azar para ver si acierta. Entonces el mago analiza las cartas caídas y después “de mucha concentración y esfuerzo mental” señala exactamente la carta elegida por el espectador.

¿Por qué la magia viene del caos?

El mago, distribuye las 25 cartas en filas y las recoge en columnas. Al recoger  la matriz así formada se debe memorizar el lugar donde colocamos el montón que contiene la carta elegida. Es indiferente el orden en el que se recojan las cartas de los otros montones, lo importante es mantener unido el montón principal (el que tiene la carta del espectador). Incluso podría dar al espectador cada montón para que lo barajara, introduciendo así más caos en ellos. Supongamos que se coloca el montón que contiene la carta elegida en la posición n. Cuando, después de distribuir las cartas por segunda vez, el espectador le diga el número de la columna que contiene a la carta elegida (supongamos que es m), el mago debe buscar la carta que se encuentra en (n , m) o sea el cruce de la fila n con la columna m. Ésa es la carta elegida por el espectador. Lo que sigue en la descripción anterior es puro “chamullo”, “discurso piñerista”, para despistar a los espectadores. También podría el mago fingir que mezcla accidentalmente la baraja tras recoger los montones la segunda vez y, luego, adivinar de un modo misterioso y mágico la carta elegida.

Las matemáticas de este truco matemático

Imaginemos las 25 cartas dispuestas en una matriz 5x5 y que el montón que contiene la carta elegida se ubica en el lugar n, con 1 < n < 5, al ser recogidas todas las cartas. Este orden es siempre considerando la baraja dorso arriba. Una vez recogidas las cartas y redistribuidas en otros cinco montones (columnas de la matriz traspuesta), las cinco primeras cartas, que antes formaban una misma columna, ahora forman la primera fila; los cinco naipes siguientes, que provienen de un mismo montón, forman la segunda fila y, así, cada columna de la primera matriz ahora forma una misma fila. Esta acción de recoger las columnas de cartas y distribuirlas otra vez en filas tiene el efecto de trasponer la matriz. Si el montón que contiene a la carta elegida ha sido colocado en el lugar n del paquete de cartas, y ahora esas cartas ocuparán la fila n de la nueva matriz. Una de las cinco cartas que componen esta fila es la carta elegida.

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