LA PREDICCION CON EL DICCIONARIO

El profesor advierte que es capaz de percibir los pensamientos de los alumnos y para probarlo escribe una predicción en una hoja de papel que deja dentro de un sobre y lo coloca en un lugar visible pero inaccesible. A continuación indica a los alumnos que sigan un conjunto de instrucciones elementales:

1) Escribir un número de tres cifras.
2) Debajo de él escribir el mismo número pero con sus cifras colocadas en orden inverso.
3) Realizar la resta de dichos números, el mayor menos el menor.
4) Volver a escribir debajo el mismo número obtenido de la resta, pero con las cifras colocadas de nuevo en orden inverso.
5) Sumar estos dos números.
6) Buscar en un diccionario una palabra asociada con el resultado final.
7) Como el número será demasiado grande, utilizar las primeras cifras (todas menos la última) para representar la página del libro y la última cifra para contar el número correspondiente de palabras en dicha página.
8. Una vez encontrada la palabra que ocupa dicho lugar, digamos la novena palabra de la página 108, nombrar dicha palabra.
9) Por último, abrir el sobre y leer lo escrito inicialmente por el profesor.

Sorprendentemente, la predicción coincide con la palabra del libro señalada. Al realizar el experimento con diferentes números se observa que el resultado final es invariable, lo que conduce a buscar una explicación dentro de las matemáticas. La pregunta surge en las propias mentes de los alumnos: ¿por qué se obtiene el mismo resultado aunque se utilicen diferentes números?

Diferentes ensayos y sugerencias del profesor irán llevando a precisar las propiedades de las operaciones algebraicas que muestren la validez de las hipótesis planteadas. La observación clave será que después de la primera resta, la cifra central será un nueve y la suma de las otras dos también será nueve.

Desde este momento, la idea de la predicción y la sorpresa que produce la coincidencia de las palabras ya no es importante, pues la explicación surge por sí misma. Sin este descubrimiento, se debe pensar que la magia existe.

Un problema complementario que se debe plantear, si no ha surgido de la discusión previa, es el de saber si con todos los números se llega al mismo resultado. Más aún, descubrir el conjunto de números para los que no funciona el experimento.

PROBLEMA DE FLAVIO JOSEFO Y LA PREDICCION AUSTRALIANA

 

SALVADO POR LAS MATEMÁTICAS

El problema de Flavio Josefo es un problema teórico que se encuentra en matemática y ciencias de la computación. El nombre hace referencia a Flavio Josefo, un historiador judío que vivió en el siglo I. Según lo que cuenta Josefo, durante la rebelión judía contra Roma en el siglo I d.C., 40 judíos se encontraron acorralados en una cueva. Para evitar ser atrapados y convertirse en esclavos, prefirieron la muerte y decidieron formar un círculo, matarse entre ellos: el primero mataba al segundo y pasaba el arma al tercero, quien mataba al siguiente, y así sucesivamente, hasta que quedara uno solo, quien se suicidaría. Los últimos que quedaron fueron Josefo y otro hombre. Entonces; Josefo no cumplió su promesa; convenció al otro hombre que debían entregarse a los romanos en lugar de matarse entre ellos. Josefo además de no cumplir su pacto no sabía matemáticas y atribuyó su supervivencia a la suerte o a la Providencia.

Matemáticamente el problema plantea lo siguiente:

Hay n personas permanecen en un círculo esperando a ser ejecutadas. Después de que ejecutan a la primera persona, se cuentan k − 1 personas y la persona número k es ejecutada. Entonces nuevamente, Se cuentan a k − 1 personas y la persona número k es ejecutada. La eliminación continúa alrededor del círculo (que se hace cada vez más pequeño a medida que más personas son eliminadas del mismo) hasta que sólo queda la última, que es liberada.

El objetivo es escoger el lugar inicial en el círculo para sobrevivir (es el que sobrevive a las ejecuciones), dados n y k.

Un problema de matemáticas recreativas semejante; dado por Sam Loyd es:

TRECE RATONES PARA UN GATO

Los trece ratones que rodean al gato Josefo están condenados a ser devorados por él. Pero el gato Josefa ha decidido comerlos en cierto orden. Comenzando por uno de ellos, cuenta trece en el sentido de las manecillas del reloj. Se come al que ocupa el lugar trece y sigue la cuenta. Por donde habrá de comenzar a contar para en último lugar comer al ratón blanco.

Con una baraja de cartas puede simularse el problema de Josefo mediante la llamada mezcla australiana, que ilustraremos con el siguiente efecto de magia:

  PREDICCIÓN A LA AUSTRALIANA

1. Entregar a un espectador ocho cartas cualesquiera o elegir las cartas del as al ocho, para que las mezcle. Con la excusa de comprobar si están bien mezcladas, echa un vistazo (sin que nadie te vea) a la carta superior y escríbela en una hoja de papel. Anuncia que vas a realizar una predicción.
2. Devuelve las cartas al espectador y pídele que realice la llamada mezcla australiana, que consiste en lo siguiente:
• Con las cartas cara abajo, se pasa la carta superior a la parte inferior del paquete.
• La actual carta superior se deja sobre la mesa.
• Se repiten los dos pasos anteriores, carta superior a la parte inferior, carta siguiente sobre la mesa.
• El proceso termina cuando queda en la mano una sola carta.
  [Observa la similitud de este proceso con el utilizado por Flavio Josefo y sus compañeros.]

Al final, muestra la predicción y comprueba que coincide con la única carta que al final tiene el espectador.

El juego puede repetirse con un número diferente de cartas. Pero debes practicar bien antes de realizarlo pues requiere algunas operaciones mentales.

El juego consiste en lo siguiente:

1. Busca una baraja de cartas y pide a un espectador que nombre un número arbitrario. Dicho número corresponderá a la cantidad de cartas con las que va a realizarse el juego.
2. Cuenta, una a una sobre la mesa, caras arriba, tantas cartas como el número que ha seleccionado el espectador. Mientras tanto, debes hacer las siguientes operaciones secretas:
• Busca el equivalente en notación binaria del número elegido por el espectador (pongamos por ejemplo 13, que se escribe como 1101).
• Traslada la primera cifra a la última posición (quedaría en nuestro ejemplo 1011).
• Calcula la representación decimal del número obtenido (en este caso 1011 corresponde a 11).
• Recuerda la carta que ocupa dicho lugar en el montón de cartas que vas dejando sobre la mesa. Esta será la carta que adivinarás.
3. Recoge el montón de cartas. Anuncia que harás una predicción y escribe en una hoja de papel la carta que has recordado durante el proceso anterior.
4. Realiza la llamada mezcla australiana, que consiste en lo siguiente:
• Con las cartas caras abajo, se pasa la carta superior a la parte inferior del paquete.
• La actual carta superior se deja sobre la mesa.
• Se repiten los dos pasos anteriores, carta superior a la parte inferior, carta siguiente sobre la mesa.
• El proceso termina cuando queda en la mano una sola carta.

Comprueba que la carta de la mano es la carta que habías predicho anteriormente. 

Nota: Un método más sencillo para saber la carta que debes recordar es el siguiente:

·         Calcula la diferencia entre el número indicado por el espectador y la potencia de dos más próxima a dicho número (en el ejemplo citado, 13 - 8 = 5).

·         Multiplica por dos dicho número y suma uno al resultado (con lo que se obtiene 5 · 2 + 1 = 11). Dicho valor corresponde a posición de la carta que debes recordar.

·         Si el número indicado por el espectador ya es una potencia de dos, la primera carta será la que debes recordar.

Una explicación matemática de este juego de mezcla australiana es la siguiente:

SOLUCIÓN

Se puede probar fácilmente que, si el número de personas es 2ⁿ, la primera de ellas será la última en eliminarse. Basta observar que, en la primera fase, se eliminan todas las personas que ocupan un lugar par. Al renumerar las restantes, se obtiene un grupo con 2^n-1 personas a las que se puede aplicar el mismo proceso anterior. Cuando sólo quedan dos personas, es evidente que se elimina la número dos y queda la primera.

Una sencilla variación de este argumento permite demostrar que, si se trata de un grupo de 2ⁿ + k personas, eliminamos en primer lugar las colocadas en las posiciones 2, 4, ..., 2k, para llegar a un grupo con 2ⁿ personas y ahora la primera de ellas es la que ocupaba inicialmente el lugar 2k + 1.

En nuestro caso, como 40 = 2⁵ + 8, la posición que debe ocupar el superviviente será 2 x 8 + 1 = 17.

ANTIGUAS POSTALES DE MAGOS

La Página Postcards of Magicians muestra una colección de retratos de antiguos magos, fotografías que muestran rutinas, y carteles de presentaciones de magos de fines del siglo XIX y comienzos del siglo XX.

 Esta página es la exposición de una maravillosa colección de más de 300 tarjetas y fotografías; "Postales de Magos".

 Durante décadas, esta colección ha rigurosamente preservada y las tarjetas postales cuentan la historia de la magia, de los magos y los temas de las rutinas mágicas que presentaban.

 En http://magicpostcards.wordpress.com/ se puede conocer los rostros de los magos de tiempos pasados y de las mujeres que ejercieron una disciplina que siempre parece haber sido realizada por hombres.

 Esta pagina es mantenida por Magicana; una organización de artes escénicas dedicada al estudio, la exploración y el avance de la magia como un arte escénico.

Le invitamos a explorar las distintas páginas y disfrutar de las palabras extrañas, las fotografías maravillosas y los rostros misteriosos de los antiguos magos retratados. Piense en cada postal es una "entrada al pasado".

MAGIA MENTAL: LA DIMENSION FRACTAL

Felix Hausdorff, matemático alemán introdujo en el año 1919, el concepto de dimensión, y basándose en sus ideas es posible establecer una comparación entre objetos fractales.

El concepto intuitivo de la dimensión de un objeto es bien conocido. Así, un pedazo de hilo y un trozo de alambre pueden ser la representación de objetos unidimensionales, o sea de dimensión 1; una hoja de papel y una lamina de metal son bidimensionales, o sea de dimensión 2; una esfera solida y un cubo solido son tridimensionales, o sea de dimensión 3. Todas dimensiones representadas con un numero entero, y esa es la diferencia, los fractales son objetos cuya dimensión es un numero decimal.

Si consideramos un objeto de longitud L y lo dividimos en tres partes iguales de tamaño l, se generan N = 3 particiones o segmentos más pequeños (N = L/l). Al considerar una hoja de papel cuadrada de lado L , y la seccionamos en cuadrados más pequeños de lados l = L/2, se obtienen cuadrados de área l² = L²/4, entonces obtenemos N = (L/l)² = 4 particiones. Para un cubo de lado L al seccionarlo en cubos más pequeños de lados l = L/2, se generan N = (L/l)³ = 8 pequeños cubos de volumen l³.

Generalizando el proceso de división como el descrito, el numero de secciones generadas esta dado por N = (L/l)df, de donde df se denominara dimensión fractal o de Hausdorff del objeto (esta relación debe cumplirse si decidimos seccionar el objeto total o cualquiera de sus partes) y al despejar df obtenemos df = log N/log(L/l), expresión que nos permite calcular la dimensión de cualquier forma geométrica. Al aplicar esta fórmula en los casos descritos anteriormente obtenemos la dimensión para la recta (1), figura plana (2) y un sólido (3). Note que no importa el numero de subdivisiones que se realice, df es el mismo para cada objeto en particular.

Apliquemos esto a la curva de Koch o copo de nieve. En ella cada lado del triangulo es dividido en tres partes iguales l = L/3 y en cada arista del triangulo se obtienen cuatro particiones (N = 4) obteniendo df = log4/log3 = 1,261859… ¡¡dimensión fraccional!! Luego el copo de nieve cubre más espacio que una recta y menos que el plano.



El triangulo de Sierpinski, es una estructura fractal que se obtiene de seccionar un triangulo equilátero en cuatro particiones similares con lados l = L/2 y a continuación se extrae el triangulo central quedando solo tres triángulos (N = 3) y sobre cada uno de estos triángulos se actúa de la misma forma de manera continua.

La dimensión de Hausdorff en este caso es

  df = log3/log2 = 1,584962….

De igual manera puede construirse la Carpeta de Sierpinski. Esta se obtiene al dividir un cuadrado de lado L en secciones de área L²/9 y eliminando el cuadrado del centro. Aquí N = 8 y L/l = 3 de donde df = log8/log3 = 1,892789…

Comparando los resultados obtenidos, se ve que la dimensión fractal mide, de alguna forma, hasta que punto el objeto cubre el espacio en que se encuentra inscrito: mientras la curva de Koch cubre bastante poco (dimensión 1,261859), la Carpeta de Sierpinski lo hace casi completamente (dimensión 1,892789)

Así la dimensión fractal de estos objetos permite compararlos y clasificarlos.

El cubo de Sierpinski

En forma análoga a la Carpeta de Sierpinski, se puede construir otro fractal llamado cubo de Sierpinski, el que se construye a partir de un cubo de arista L, que se particiona en secciones cubicas de volumen L3/27; eliminando la sección del centro del cubo y las seis que están en el centro de cada cara. El procedimiento se repite en cada uno de los 20 cubos restantes y asi sucesivamente. Una etapa del proceso se muestra en la figura siguiente:

La dimensión fractal del cubo de Sierpinsky es log20/log3 = 2,726833… La figura resulta similar a una esponja, de allí que también se le conozca como la esponja de Sierpinski.

Este fractal tiene la propiedad que su volumen tiende a cero, mientras que el área de su superficie tiene a infinito. Esta idea se ha usado para la confección de materiales absorbentes tales como pañales y toallas femeninas.

Para mas información se recomienda leer:

http://www.arrakis.es/~sysifus/kochsier.html

http://www.dmae.upm.es/cursofractales/index.html

MAGIA CON MATRICES

Aquí analizo las matemáticas contenidas en dos muy sencillos trucos de cartas que se basan en el concepto de matriz y matriz compuesta.

Actualmente la “muy moderna” educación chilena ha sacado las matrices del currículum de la enseñanza secundaria para enfatizar en la menos abstracta operatoria algebraica. Se llama matriz a un arreglo ordenado de números en filas (horizontales) y columnas (verticales). Ejemplo:

Se debe distinguir entre matrices cuadradas (de igual numero de filas y columnas), y matrices rectangulares.

El juego de las 21 cartas se puede fundamentar como el ordenamiento de cartas en una matriz rectangular de 7x3 (7 filas y 3 columnas).

El otro concepto a utilizar en los trucos que se presentan a continuación es el de matriz traspuesta; que es aquella matriz que se obtiene de intercambiar filas por columnas en la matriz original. Ejemplo:

Ahora estamos en condición de comprender el contenido matemático oculto en los dos siguientes trucos de adivinación:

LAS NUEVE CARTAS

Elegir nueve cartas de una baraja y distribuirlas en una matriz cuadrada de 3x3 (3 filas, 3 columnas). El espectador elige en secreto una de las cartas, la escribe en una hoja de papel, y nos dice en la columna que esta ubicada. Recogemos las columnas formando tres montones recordando en que lugar de la pila de nueve cartas ubicamos el montón con la carta elegida por el espectador. Distribuimos otra vez las cartas en filas de tres columnas, y le decimos al espectador que nos diga en que columna esta ubicada su carta; como ya hemos reconocido la carta a adivinar, recogemos en cualquier orden las cartas de la mesa, y adivinamos la carta elegida por el espectador.

El secreto está en que al formar la matriz los naipes los distribuimos en filas y los recogemos en columnas para formar una matriz traspuesta.

LAS 25 CARTAS

Este es un truco con naipes muy semejante al anterior. Los amigos, alumnos, espectadores siempre quieren descubrir el secreto de un truco magia y disfrutan si lo logran, y más aun si el truco falla, así que la mejor manera de despistarlos es fingir que atolondradamente se ha olvidado o que hoy todo nos está saliendo mal. Pero quedan con la “quijada caída”, mejor digo asombrados cuando pese a todo el desorden y la torpeza el mago logra adivinar la carta por ellos elegida.

El truco consiste en distribuir sobre una mesa 25 cartas en cinco filas de cinco cartas cada uno,- como inteligentemente habrán observado en una matriz de 5x5 -; y el espectador debe elegir en secreto una de ellas y anotarla en un trozo de papel. El espectador informa al mago sobre el montón donde se encuentra ubicada la carta elegida. El mago entrega a los espectadores para barajar cada montón de cartas donde no está la carta elegida y  luego los recoge en cualquier orden recordando el lugar donde ubica el montón que contiene la carta elegida

Otra vez, el mago distribuye las cartas en filas de cinco cartas hasta formar una matriz de cinco filas y cinco columnas, y otra vez el espectador dice en qué montón se encuentra la carta elegida. Cuando el mago está recogiendo los montones (las columnas) según las indicaciones del o de los espectadores, las cartas se le caen sobre la mesa de forma desordenada. El mago anuncia que así es imposible que el truco salga bien pero que, de todas formas, para que no se sientan desencantados, elegirá una carta al azar para ver si acierta. Entonces el mago analiza las cartas caídas y después “de mucha concentración y esfuerzo mental” señala exactamente la carta elegida por el espectador.

¿Por qué la magia viene del caos?

El mago, distribuye las 25 cartas en filas y las recoge en columnas. Al recoger  la matriz así formada se debe memorizar el lugar donde colocamos el montón que contiene la carta elegida. Es indiferente el orden en el que se recojan las cartas de los otros montones, lo importante es mantener unido el montón principal (el que tiene la carta del espectador). Incluso podría dar al espectador cada montón para que lo barajara, introduciendo así más caos en ellos. Supongamos que se coloca el montón que contiene la carta elegida en la posición n. Cuando, después de distribuir las cartas por segunda vez, el espectador le diga el número de la columna que contiene a la carta elegida (supongamos que es m), el mago debe buscar la carta que se encuentra en (n , m) o sea el cruce de la fila n con la columna m. Ésa es la carta elegida por el espectador. Lo que sigue en la descripción anterior es puro “chamullo”, “discurso piñerista”, para despistar a los espectadores. También podría el mago fingir que mezcla accidentalmente la baraja tras recoger los montones la segunda vez y, luego, adivinar de un modo misterioso y mágico la carta elegida.

Las matemáticas de este truco matemático

Imaginemos las 25 cartas dispuestas en una matriz 5x5 y que el montón que contiene la carta elegida se ubica en el lugar n, con 1 < n < 5, al ser recogidas todas las cartas. Este orden es siempre considerando la baraja dorso arriba. Una vez recogidas las cartas y redistribuidas en otros cinco montones (columnas de la matriz traspuesta), las cinco primeras cartas, que antes formaban una misma columna, ahora forman la primera fila; los cinco naipes siguientes, que provienen de un mismo montón, forman la segunda fila y, así, cada columna de la primera matriz ahora forma una misma fila. Esta acción de recoger las columnas de cartas y distribuirlas otra vez en filas tiene el efecto de trasponer la matriz. Si el montón que contiene a la carta elegida ha sido colocado en el lugar n del paquete de cartas, y ahora esas cartas ocuparán la fila n de la nueva matriz. Una de las cinco cartas que componen esta fila es la carta elegida.

UN TRUCO DE CARTAS CON DOS ERRORES Y UN ACIERTO

Mientras hoy 9 de agosto en todo Chile los estudiantes realizan marchas, y protestas, pidiendo una educación gratuita y de calidad, yo aquí presento un truco de Matemagia encontrado en la página web Computer Science for Fun http://www.cs4fn.org/ donde se presenta este muy matemático truco de cartas.… El truco es el siguiente,... Primero se memoriza la carta superior de una baraja, aquí vamos a asumir que es el ocho de corazones. A un espectador le pedimos que elija un número más bien pequeño, entonces colocamos sobre la mesa ese número de cartas, cara abajo. A continuación, anunciamos que la próxima carta será el 8 de corazones. Oohh!... ¿no es la carta anunciada? Colocamos de nuevo todas las cartas en la parte superior de la baraja. Ahora le pedimos al espectador que elija un nuevo número más grande que el primero, pero no tan grande que nos quedamos sin cartas.  Contamos esa cantidad de cartas mientras las vamos dejando sobre la mesa; y anunciamos que la próxima carta será el 8 de corazones. Oohh! Nos hemos equivocado otra vez… Ahora vamos a ver si podemos de estos dos errores obtener un acierto. Para eso pedimos una nueva oportunidad. Mentalmente restamos el número menor del mayor y sacamos de la baraja tantas cartas como el resultado obtenido de la resta; y anunciamos que la siguiente carta es el 8 de corazones, entonces, logramos hacer el truco con Éxito!

¿Por qué funciona? ¡Aquí se explica todo!

En este truco de distracción, que con la jocosa historia de los errores de un inexperto mago provoca risas, se oculta un inteligente conocimiento de matemáticas elementales. El truco utiliza una técnica mágica llamada de inversión por amontonamiento, que es el apilar una secuencia de cartas en un orden conocido. A veces, usando esta clase de trucos, los magos colocan un montón de cartas pre-definidas, por ejemplo cuatro Ases, en la parte superior de la baraja y hacen una mezcla falsa, y luego son capaces de obtener una mano de póker ganadora porque saben exactamente qué cartas se reparten. En este truco los "errores" crean el montón de cartas necesario para poder encontrar la carta anunciada.  A partir de la carta que conocemos y hemos ubicado en la parte superior (que es nuestra carta secreta), el espectador elige un número del 1 al 10. Vamos a llamar a ese número X, y contamos X cartas de modo que la primera carta de abajo del montón encima de la mesa es la carta anunciada. Al terminar de contar las X cartas hay X cartas sobre la mesa, con la carta anunciada en la parte inferior; y se ha invertido el orden de las primeras X cartas de la baraja. Oohh..!, primer error, decimos atolondradamente, queriendo justificar tanta torpeza. No se preocupe, todo se puede corregir. Sólo tenemos que otra vez colocar las cartas en la parte superior de la pila de cartas, entonces repartir nuevamente otra cantidad de cartas desde la parte superior de la baraja.

Segundo intento; esta vez se pide una cantidad más grande, un número entre 10 y 20. Vamos a llamar a ese nuevo número de Y. Se cuenta mientras se va dejando sobre la mesa Y cartas, donde Y es mayor que X, cuando las Y cartas están sobre la mesa se anuncia que la siguiente será la carta pronosticada, entonces, sucede el segundo error, perdón de nuevo. Algo está fallando… Pero vamos a "repensar en el número" de las cartas que están sobre la mesa. Esa pila tiene cartas Y, y debido a que arregló el juego en la primera fase de la carta secreta está en la posición X de la parte inferior de estas tarjetas Y, lo que significa que está en posición Y- X. Exactamente esta es la posición en la baraja de la carta a ser revelada al final.

Aprendiendo de dos errores. Revelando el truco.

Se afirma que el álgebra de las Xs y Ys siempre funciona, pero para ver que esto es cierto vamos a probarlo usando como ejemplo algunos números específicos, por ejemplo X = 5 e Y = 15. La primera pila de naipes sobre la mesa deja la carta secreta en la posición 5 contando desde la parte superior. A continuación, se hace la segunda cuenta de 15 cartas, invirtiendo en orden de ellas a medida que avanzamos en la cuenta. Sobre la mesa quedan las cartas en el siguiente orden: 1, 2, 3, 4, SECRETO, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15. Recogemos el montón y lo colocamos en la parte superior de la baraja. La carta secreta se encuentra ahora en una nueva pila de naipes. Cuyo orden desde arriba hacia abajo es: 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, SECRETO, y el resto de la baraja. Ahora se hace la cuenta regresiva de las 10 cartas de la parte superior de esta nueva pila de naipes (que es X – Y = 15 – 5 = 10), el orden de las 10 primeras cartas de la baraja es: 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, y la próxima carta es la carta anunciada al comenzar el truco. Magia…!

EL PROBLEMA DE GERGONNE

No es una buena estrategia invitar a seguir un blog amenazando a que tengan que aprender binario, es ser “agilao”; y peor todavía si el primer truco de cartas a mostrar es uno demasiado conocido y mostrado en Internet. “Con esa cuatica pasamos a ser Brigidos de agilao, subimos a la categoría de aweonao”. Pero “lo que la lleva, chiguá, loco” es que aquí mostraré como realizar el truco y demostraré su fundamento matemático. La razón por la cual funciona su magia. “Cacharon”, entendieron, “o los criaron con leche de burra”….Este truco de las 21 es tan antiguo como la conquista de América pero las expresiones del lenguaje son comúnmente usadas por los jóvenes marginales; “los flaites”, aquellos que en estos días de protestas estudiantiles provocan la violencia, y los daños. Es el lumpen contratado por la derecha, son los infiltrados para en los noticieros hacer aparecer como delincuentes a los estudiantes chilenos que reclaman una mejor educación. Su lenguaje es una variante del “coa penitenciario”; y ellos son parte de la juventud chilena que no asiste a colegios ni liceos, los sectores marginales que los gobiernos herederos del sistema económico post-dictadura quieren incorporar a la educación formal subsidiando a sus padres por matricular a sus hijos.

Pero no “pasa ná con el truco de las 21, chí pura cuatica, y dejaí a los broca esperando”.

EL PROBLEMA DE GERGONNE (LAS VEINTIÚN CARTAS)

Se atribuye al matemático francés Joseph Gergonne, rector de la Universidad de Montpellier en el periodo 1830-1844 y fundador de una publicación matemática conocida como Annales de Gergonne, la primera versión de lo que hoy conocemos como el juego de las 21 cartas. Es actualmente muy conocido incluso entre los profanos y consiste en lo siguiente:

1. El mago separa 21 cartas cualesquiera de una baraja y reparte con ellas sobre la mesa tres filas de 7 cartas cada una.

2. Un espectador piensa (sin nombrar) una de las cartas e indica en qué fila se encuentra.

3. El mago recoge las cartas, de modo que el montón que contiene la carta elegida quede en medio de los otros dos.

4. Se repite el proceso de repartir tres montones sobre la mesa dos veces más, colocando

siempre el montón que contiene la carta elegida entre los otros dos.

El resultado final de esta serie de operaciones es que la carta elegida se encuentra justamente en medio del paquete de cartas, es decir, ocupará el lugar undécimo de la baraja.

Una nueva pregunta surge en este contexto:

¿Podemos encontrar situaciones similares si el experimento se realiza con un número diferente de cartas?

Para resolver este problema, llamaremos “c” al número de montones repartidas y “f” al número de filas (o cartas en cada montón). Si p_k es la posición de la carta elegida (empezando a contar en cero) después de la k-ésima iteración, es fácil comprobar que

p_k = [p_k-1/c] + (c - 1)·f/2 (el símbolo [·] representa la parte entera del número).

Es evidente entonces que el truco funcionará siempre que después de n iteraciones se llegue a p_n = [c·f/2].

Ejemplos:

c=3, f=7

p0	p1	p2	p3
0,1,2 3,4,5 6,7,8 9,10,11 12,13,14 15,16,17 18,19,20	7 8 9 10 11 12 13	9 9 10 10 10 11 11	10

c=3, f=5

p0	p1	p2	p3
0,1,2,3,4 5,6,7,8,9 10,11,12,13,14 15,16,17,18,19 20,21,22,23,24	10 11 12 13 14	12

 c = 3 , f = 5

p0	p1	p2	p3
0,1,2 3,4,5 6,7,8 9,10,11 12,13,14	5 6 7 8 9	6 7 7 7 8	7

Al observar estos ejemplos, surgen otras cuestiones relacionadas:

¿Deben ser “c” y “f” impares?

¿Cuál es el mayor número de cartas que requieren la misma cantidad de iteraciones?

Si se quiere disimular el resutado final para que la carta pensada no se encuentre en el centro de la baraja, ha de modificarse el procedimiento original. A este respecto, utilizando sistemas de numeración en base distinta de diez, puede demostrarse la siguiente propiedad.

“Es posible llevar la carta elegida a cualquier posición de la baraja”.

Nos limitaremos aquí a ilustrar lo anterior mediante un ejemplo.

Ejemplo

Si c = 3, f = 9, y deseamos que la carta elegida aparezca en la posición 15, escribimos en

base tres el número 14:

15 - 1 = 14 = 112(3).

A continuación, basta aplicar la clave

0 = arriba

1 = centro

2 = abajo

y leer el número 112(3) al revés. El proceso a seguir sería entonces: Después del primer reparto, colocar el montón de la carta elegida abajo (debido al 2); después del segundo reparto, colocar el montón de la carta elegida en el centro (debido al 1); después del tercer reparto, dejar nuevamente el montón de la carta elegida en el centro (otra vez debido al 1).

El propio Gergonne demostró el siguiente resultado general.

Generalización de Gergonne:

“Si se reparten nⁿ cartas formando n filas de n^n-1 cartas cada una, siempre se pueden combinar las filas de modo que, después de n repartos, la carta elegida aparece en cualquier posición (no necesariamente en la posición central)”.

LA MATEMATICA DE LA BARAJA DE NAIPES

Dicen algunos, no se quien, que Pascal y Fermat probaron que sacarse la suerte con naipes es en gran parte una cuestión de números. Así que cuando una gitana ofrezca leer su destino en una baraja piense que es una cuestión de azar los naipes que obtenga y el resto es puro “chamullo” invento de la gitana, imaginación de la cartomántica, esa misteriosa mujer que por unos pocos pesos le dirá las enfermedades futuras, su suerte en el amor, las deudas acumuladas, el dinero que obtendrá por la gracia de Dios según dicen las malas lenguas, Einstein incluido, que nunca jugaba a los dados, y por eso no es culpable del caos de este mundo. Pero volviendo a los naipes y a las matemáticas. Las distintas secuencias posibles de obtener en una baraja de 52 cartas dicen que es un número de 68 cifras; traten de comprobarlo si pueden, si todas las personas de la tierra calcularan un millón de colocaciones distintas de naipes por segundo durante las 24 horas del día durante 80 años, nunca podrían calcular una mil millonésima de una mil millonésima del uno por ciento de las todas las posibles permutaciones que se pueden realizar con los naipes de una baraja. El número total de manos de cinco cartas que pueden darse en el póquer dicen es 2.598.960; compruebe si no está equivocado. Es un simple problema de combinatoria; y ahora puede calcular las probabilidades de obtener una buena mano de poker. Cantidades pequeñas comparadas con el más grande número primo conocido. El primo que tiene el record, hasta que alguien descubra uno mayor. Ese enorme número primo; el gigante más grande es 2859433 -1 Se afirma que este primo tiene un total de 258.716 dígitos; creer o no creer tanto asombro no es magia, es ciencia. Pero si hablamos de números gigantes mencionare el número de Skewe que se define como:

cuyo valor aproximadamente es

el número de Skewe que está íntimamente relacionado con la función para contar números primos.

¿PARA QUÉ MEZCLAR UNA BARAJA?

Las mezclas son la única cosa que la Naturaleza no puede deshacer.

Sir Arthur Eddington

En la Naturaleza, existen muchos procesos espontáneos que requieren de mezclas que son irreversibles: al mezclar dos gases que se ponen en contacto, la unión obtenida no puede deshacerse; es imposible volver a reconstruir un vaso de cristal después de roto.

Estos hechos tienen relación con la ley universal de la Entropía, que afirma que el desorden de un sistema tiende a aumentar.

Un paradigma espléndido de los hábitos unidireccionales de la Naturaleza lo constituye la mezcla de una baraja. Así, por ejemplo, se puede afirmar que, después de mezclar una baraja es imposible que los colores se separen. En realidad, la probabilidad de que eso ocurra con una baraja francesa de 52 cartas es casi imposible pues hay 52! disposiciones distintas (que es un número de 68 cifras) de las cartas de la baraja.

¿Sabía usted que cada vez que barajar un mazo de cartas, es muy probable que usted esté haciendo historia?

Una baraja de 52 cartas se pueden ordenar de 52! = 52 x 51 x 50 x. .. x 2 x 1 maneras. Esto se debe a que hay 52 maneras de elegir la primera carta, 51 maneras de elegir la segunda, 50 formas de elegir la tercera, etc, pero 52! es un número muy grande: mayor que 8 elevado a 10 67

¿Qué tan grande es este número?. Bueno, si alguien pudiera barajar un mazo de cartas una vez por segundo comenzando desde cuando se inició el universo (se cree que alrededor de 14 mil millones de años) y sin nunca repetir ninguna ordenación, hasta hoy no hubiera barajado los naipes más de 1018 permutaciones distintas.

Por lo tanto, es muy probable que cualquier configuración que se logra después de barajar al azar las 52 cartas de una baraja nunca haya aparecido antes en la historia! También puede comparar 10 67 a otros números de gran tamaño como el número de estrellas en el universo (10 23).

LA MATEMATICA D3L ABRACADABRA

No lo sabíamos pero la Magia y las Matemáticas han sido compañeras de viaje durante mucho tiempo. Tanto los magos como los matemáticos están motivados por el sentido del asombro que representa nuestra sorpresa, el remezón que recibe nuestro cerebro al sabernos capaces de descubrir los misterios esenciales del mundo. La diferencia está en que los magos muestran sucesos sorprendentes mientras que los matemáticos tratan de explicar esos acontecimientos: la ciencia de la ilusión versus la ilusión de la ciencia.

El objetivo de este blog: es presentar de forma amena diversos juegos de magia, descubrir la base matemática que escoden muchos de ellos, y aprender a realizar esos trucos de cartomagia que los profesores puedan usar como motivación introductoria en sus clases de matemáticas, o ser contenidos de un taller de investigación matemáticas o un medio de entretención que permita la mejor convivencia entre los alumnos realizando trucos de cartomagia que sorprenderán, asombraran, a todo tipo de espectadores.